Алгоритм нахождения экстремумов функции и интервалов ее монотонности с помощью первой производной PDF Печать E-mail

 

1. Найти область определения функции и интервалы, на которых функция непрерывна.

2. Найти производную функции f '(x).

3. Найти критические точки функции y = f (x), т.е. точки, принадлежащие области определения функции, в которых производная f '(x) обращается в нуль или не существует.

4. Исследовать характер изменения функции f (x) и знак производной f '(x) в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения функции y = f (x).

5. Относительно каждой критической точки определить, является ли она точкой максимума, минимума или не является точкой экстремума.

Помни: критическая точка x0 есть точка минимума, если она отделяет промежуток, в котором f '(x)<0, от промежутка, в котором f '(x)>0, и точка максимума - в противном случае. Если же в соседних промежутках, разделенных критической точкой x0, знак производной не меняется, то в точке x0 функция экстремума не имеет.

6. Вычислить значения функции в точках экстремума.

7. Записать результат исследования функции: промежутки монотонности и экстремумы.

скачать текстовую версию

____________________________________________________________________________

 

Пример 1. Исследовать на экстремум функцию f(x) = x3–3x2 и найти ее промежутки монотонности.

Решение:

1) Функция определена для всех R. Найдем производную: f '(x)=3x2–6x.

2) Из уравнения 3x2–6x = 3x(x–2) = 0 получим критические точки функции x1=0 и x2=2.

3) Так как при переходе через точку x1=0 производная меняет знак с плюса на минус, то в этой точке функция имеет максимум.

4) При переходе через точку x2 =2 производная меняет знак с минуса на плюс, поэтому в точке x2 = 2 у функции минимум.

5) Составим таблицу:

x

(∞;0]

0

[0; 2]

2

[2; +∞)

f '(x)

+

0

0

+

f (x)

fmax(0) = 0

fmin(2) = – 4

 

6) Таким образом, данная функция в промежутке от -∞< x≤ 0 возрастает, в промежутке от 0 ≤x ≤ 2 убывает, а в промежутке от 2≤ x < +∞ опять возрастает.

Ответ: (0; 0) – точка максимума, (2; -4) – точка минимума;

функция возрастает (-∞;0] и [2; +∞), функция убывает [0; 2].

 

Пример 2. Исследовать на экстремум функцию f(x) = x/(x2 - 4)  и найти ее промежутки монотонности.

Решение:

1) Функция определена для всех R, кроме x=-2, x=2

2) Найдем производную: f '(x)= -(x2 +4)/(x2 - 4)2 .

3) Заметим, что производная не обращается в ноль и отрицательна на всей области определения данной функции. Значит, точек экстремума нет, и функция является убывающей на всей области определения.

4) Таким образом, данная функция убывает на промежутках:

-∞< x <-2; -2<x<2 и 2<x< +∞ .

Ответ: точек экстремума нет; функция убывает (∞;-2) , (-2; 2) и (2; +∞).

 

Пример 3. Исследовать на экстремум функцию f(x) = lg(x2 - 9) и найти ее промежутки монотонности.

Решение:

1) Функция определена если x2 - 9 ≥0 , т.е. на интервалах (-∞; -3) и (3; +∞).

2) На каждом из этих интервалов функция имеет производную  f '(x)=2x/(x2 - 9).

3) Заметим, что производная не обращается в ноль на интервалах (-∞; -3) и (3; +∞), значит, точек экстремума нет.

4) Так как  для любых x >3 и  для x < -3, то функция убывает на промежутке (-∞; -3) и возрастает на промежутке (3; +∞). Функция не определена на отрезке [-3; 3].

Ответ: точек экстремума нет; функция убывает (-∞; -3),  возрастает (3; +∞).

 

Пример 4. Исследовать на экстремум функцию f(x) =√25-x2 и найти ее промежутки монотонности.

1) Функция определена, если 25-x2 ≥0 , т.е. на промежутке [-5; 5].

2) Найдем производную функции f '(x)= -x/ √25-x2 .

3)  f '(x)=0 при х = 0, значит 0 – критическая точка.

4) Так как при переходе через точку x =0 производная меняет знак с плюса на минус, то в этой точке функция имеет максимум.

5) Таким образом, данная функция в промежутке от -5 ≤ x ≤0 возрастает, в промежутке от 0≤ x≤ 5 убывает.

Ответ: (0; 5) – точка максимума; функция возрастает [-5;0]  и функция убывает [0; 5].